1.1離散数学と応用数学

応用情報技術者試験のレベル3では、基本情報技術者（FE）で学んだ数学の基礎を土台に、業務システムの性能や意思決定を定量的に評価する応用力が問われます。待ち行列理論で窓口の混雑を数値化したり、確率統計でシステムの信頼性を評価したり、線形計画法で限られた資源の最適配分を求めたりと、いずれも「計算して根拠のある結論を出す」実務スキルの基礎です。この節では計算の手順と検算の型を重視して学びます。

1.1.1集合と命題論理

• 集合＝対象の集まり。和集合（A∪B）・積集合（A∩B）・補集合（Aの否定）の演算がある。ベン図で可視化すると、2つの集合の要素数を求める|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|（包除原理）が直感的に理解できる。
• 命題論理＝真偽が定まる文（命題）を対象とする論理体系。ならば（含意・A→B）は「Aが真でBが偽」の場合のみ偽になる点に注意。対偶（NOT B → NOT A）は元の命題と常に真偽が一致するため、証明や条件判定の言い換えに使われる。

1.1.2n進数と誤差

• n進数＝2進・8進・16進など任意の基数（n）で数値を表す記法。基数変換の応用として、n進数の各桁に重みn^kを掛けて合計する方法を使えば、任意の基数間の変換を統一的に扱える。
• 浮動小数点の誤差（丸め誤差・桁落ち・情報落ち）はFEと共通の基礎だが、AP では業務での対策判断（金額は整数/固定小数点で管理する、計算順序を変えて桁落ちを避ける等）まで問われる。

1.1.3確率統計（期待値・分散・正規分布・相関回帰）

• 期待値＝確率変数の値と発生確率の積の総和（平均的にどんな値が期待できるか）。E(X) = Σ x_i・p_i。分散＝値が期待値からどれだけばらついているかを表す指標で V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2（2乗の期待値から期待値の2乗を引く）で求める。
• 正規分布＝平均を中心に左右対称な釣鐘型の連続分布。品質管理や試験の得点分布のモデル化に使われ、平均±1標準偏差の範囲に約68%、±2標準偏差の範囲に約95%のデータが収まるという経験則がよく問われる。
• 相関係数＝2つの変数の直線的な関係の強さを-1〜1で表す指標。1に近いほど強い正の相関、-1に近いほど強い負の相関、0に近いほど無相関。回帰分析は相関がある変数間の関係を数式（回帰直線）でモデル化し、一方から他方を予測する手法。

1.1.4待ち行列理論（M/M/1）

• 待ち行列理論＝到着と処理がランダムに発生する窓口・システムの混雑度を数学的に扱う理論。M/M/1モデルは「到着間隔・サービス時間がともに指数分布（ランダム）、窓口が1つ」の最も基本的な待ち行列モデル。
• 利用率ρ（ロー）＝窓口がどれだけ稼働しているかを表す割合。ρ = λ / μ（λ＝平均到着率、μ＝平均サービス率）。ρ < 1 でなければ待ち行列は無限に伸び続け、システムが破綻する。
• M/M/1モデルの平均待ち時間（列に並んでいる時間）は Wq = ρ / (μ - λ)。平均系内時間（列に並ぶ時間＋サービスを受ける時間の合計）は W = 1 / (μ - λ) で求める。窓口を増やす・処理速度を上げるなど、μを大きくする（またはλを減らす）ことがρ低減の基本方針。

あるコールセンターで、1時間あたり平均12件の問い合わせが到着し（λ=12件/時）、オペレーター1人が1時間あたり平均15件を処理できる（μ=15件/時）とします。まず利用率ρを求めると ρ = λ / μ = 12 / 15 = 0.8（80%）で、ρ < 1 なので待ち行列は安定します。次に平均待ち時間は Wq = ρ / (μ - λ) = 0.8 / (15 - 12) = 0.8 / 3 ≒ 0.267時間、これを分に直すと 0.267 × 60 ≒ 16分 です。平均系内時間（待ち時間＋対応時間）は W = 1 / (μ - λ) = 1 / 3時間 ≒ 20分 となり、W - Wq = 20 - 16 = 4分 が平均対応時間（1/μ = 1/15時間 = 4分）と一致することで検算できます。ここで経営判断として「平均待ち時間を半分の8分以下にしたい」場合、Wq' ≦ 8/60時間 を満たすμを逆算すると ρ'/(μ'-12) ≦ 8/60 かつ ρ'=12/μ' から μ' ≧ 18 が必要と分かり、オペレーターの処理能力を15件/時から18件/時へ引き上げる（増員か効率化）という具体的な対策につながります。このように待ち行列理論は「感覚的な混雑」を数値化して意思決定に使うための道具です。

1.1.5最適化（線形計画法・最短経路）

• 線形計画法＝複数の制約条件（1次不等式）の下で、目的関数（利益・コスト等の1次式）を最大化・最小化する変数の組を求める手法。2変数の場合は制約条件が作る実行可能領域の頂点で目的関数が最適値をとる（頂点探索法）。
• 最短経路問題＝グラフ上の2点間を結ぶ経路のうち、コスト（距離・時間等）の総和が最小になるものを求める問題。ダイクストラ法が代表的な解法で、始点から近いノードを確定させながら順に最短距離を求めていく。

1.1.6この節のまとめ

• 待ち行列（M/M/1）＝ρ=λ/μ、Wq=ρ/(μ-λ)、W=1/(μ-λ)。λ・μの単位を揃え、ρ<1を前提に計算する
• 分散＝E(X^2)-{E(X)}^2、正規分布は平均±1σに約68%・±2σに約95%が収まる
• 線形計画法は実行可能領域の頂点で最適解を探し、最短経路はダイクストラ法などで求める